Annoyingly, sometimes the English in the question is the hardest part, not the maths.

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直接证明（Direct Proof）

分析条件，从条件出发，根据要求推导结论。

Proposition Form	You Need to Do	Comment
$A⇒B$	assume A and prove B	给出条件A，证明命题B
$A ⇔ B$	prove "if A then B" and "if B then A"	“当且仅当”，要有双向证明
$∀x.A$	show A holds for every possible value of x	对任意x，命题A均成立
$∃x.A$	find a value of x that makes A true	存在x，使得命题A成立

反证法（Contradiction）

To prove A is true, assume A is false and derive a contradiction. That is, start from the negation of the proposition and derive false.

通过假设某个命题的否定为真，然后通过逻辑推理导出矛盾（contradiction），从而证明该命题实际上为真的证明方法。

以下为命题的否定的表示方法：

Proposition Form	Negation	Comment
$A\ and\ B$	$not\ A\ or\ not\ B$	任一个条件取反
$A\ or\ B$	$not\ A\ and\ not\ B$	所有条件均取反
$A ⇒ B$	$A\ and\ not\ B$	条件A推导出非B即取反
$A ⇔ B$	$A\ and\ not\ B,\ or\ B\ and\ not\ A$	一个方向不成立即可取反
$∀x.A$	$∃x.\ not\ A$	假设一个反例
$∃x.A$	$∀x.\ not\ A$	假设没有能够成立的例子