COMP9020 Quiz 1，Test started Feb 14, 2024 6:00 PM to Feb 21, 2024 6:00 PM.

Part 1

1.1

Question:

How many integers between -101 and 1001 (inclusive) are divisible by 3?

Answer:

367

本题用 此部分 - 简单理论3 中提到的公式进行计算即可。

1.2

Question

Which of the following will give:

• x+1 if x is an integer, and
• The smallest integer greater than x if x is not an integer.

Select all that apply:

$2-⌊1-x⌋$

$⌈x+1⌉$

$⌊x⌋+1$

$2-⌈1-x⌉$

$⌊x+1⌋$

$⌈x⌉+1$

Answer

$⌊x⌋+1$

$2-⌈1-x⌉$

$⌊x+1⌋$

本题用 此部分 - 简单理论1&2 中提到的公式进行计算即可。

选项1：

• 不符合条件2，排除。

选项2：

• 同选项1，排除。

选项3：

• 正确。

选项4：

• 正确。

选项5：

• 同选项4，正确。

选项6：

• 不符合条件2，排除。

1.3

Question

Which of the following is true for all real numbers x?

Select all that apply:

$⌈x⌉=⌈⌈x⌉⌉$

$⌊x⌋<⌈x⌉$

$⌈⌊x⌋⌉\le⌊⌈x⌉⌋$

$⌊⌈x⌉⌋\le⌈⌊x⌋⌉$

Answer

$⌈x⌉=⌈⌈x⌉⌉$

$⌈⌊x⌋⌉\le⌊⌈x⌉⌋$

本题用常理推断即可。

选项1：

由于 $⌈x⌉$ 为整数，因此第二层向上取整无效。$⌈⌈x⌉⌉=⌈x⌉$。

• 正确。

选项2：

• 当 $x$ 为整数时，应当存在等号，因此该选项错误。

选项3：

由于 $⌈x⌉$ ， $⌊x⌋$ 均为整数，因此第二层向上取整和向下取整均无效。

因此，原不等式变为：

• 参考选项2，正确。

选项4：

参考选项3，其可变形为：

• 参考选项2，错误。

1.4

Question

Which of the following propositions are true?

Select all that apply:

• For every integer x, there exists an integer y such that x|y.
• For every integer x, there exists an integer y such that y|x.
• There exists an integer y, such that for every integer x, x|y.
• There exists an integer y, such that for every integer x, y|x.
• None of the above

Answer

• For every integer x, there exists an integer y such that y|x.
• There exists an integer y, such that for every integer x, x|y.

本题主要考察 可约分性的定义 。

选项1：

• 当 $x=0$ 时，$x|y$ 无意义，错误。

选项2：

• 无论 $x$ 的值为多少，都可以使 $y = 1$ ，则： $y|x$ 成立。正确。
• $1$可以整除任何数，包括0。
• 当 $x = 0$ 时，仍然成立。即： $1|0$ 仍是正确的。

选项3：

• 没有一个整数 $y$ 能做到可以被所有的数字整除。即：$x|y$ 不可能对任意 $x$ 成立。错误。

选项4：

• 使 $y = 1$ ，则对于任意的 $x$ 均有 $y|x$ 成立。正确。
• $1$可以整除任何数，包括0。

1.5

Question

What is gcd(286,396)?

Answer

22

使用欧里几德算法即可快速算出。略过不表。

2.1

Question

True or False:

For all positive integers $m,n$ and all integers $a,b$ ,

if $a=_{(m)}b$ and $a=_{(n)}b$ , then $a=_{(mn)}b$

Answer

False

因为 $m,n$不一定是互质的。以下是一个简单的反例：

根据计算可得：

2.2

Question

Which of the following will give:

• $1$ if $x>0$
• $0$ if $x<0$

Select all that apply:

• $x / (2|x|) + 1/2$
• $|x+1| / (2x)$
• $x - |x|$
• $(x + |x|) / (2x)$
• $x / ⌈x⌉$

Answer

• $x / (2|x|) + 1/2$
• $(x + |x|) / (2x)$

大部分选项错在他们根本没法稳定地仅得到 $1$ 或 $0$ 这两种结果。

选项1：

当 $x>0$ 时，

当 $x<0$ 时，

• 正确。

选项2：

反例：当 $x = 2$时，

• 错误。

选项3：

当 $x<0$ 时，

• 错误。

选项4：

当 $x>0$ 时，

当 $x<0$ 时，

• 正确。

选项5：

反例：当 $x=1.5$ 时，

• 错误。

2.3

Question

Suppose $x,y$ and $z$ are arbitrary integers such that $x|y$ and $y|z$.

Which of the following are always true (i.e. true for any such $x, y, z$)?

Select all that apply:

• $xy|yz$
• $xy|z$
• $x+y|z$
• $x|yz$
• $x+y|y+z$
• $x|y+z$

Answer

• $xy|yz$
• $x|yz$
• $x|y+z$

依然是关于整除的问题。

已知：

因此：

选项1：

因为 $x|z$，即$z = k * x$，因此可得：

即：$xy|yz$。

• 正确。

选项2：

• 由选项1可知 $xy|yz$。当且仅当 $y=1$ 时，$xy|z$ 。
• 错误。

选项3：

• 显然错误。

选项4：

已知：

故：

• 正确。

选项5：

已知：

故：

• 由于 $\frac{a+b}{a+1}$ 不一定为整数，因此不一定有 $x+y|y+z$ 。错误。

选项6：

已知：

故：

• 正确。

2.4

Question

Let $m, n$ and $k$ be arbitrary integers, with $k≥1$ and $n<m$.

Which of the following counts the number of multiples of k between n (exclusive) and m (exclusive)?

Select all that apply:

• $⌊(m-1)/k⌋ - ⌊n/k⌋$
• $⌊(m-n-1)/k⌋$
• $⌊m/k⌋ - ⌈n/k⌉$
• $⌈m/k⌉ - ⌊n/k⌋$
• $⌊(m-n)/k⌋$

Answer

• $⌊(m-1)/k⌋ - ⌊n/k⌋$

其实上课听了倍数数量的证明就知道为什么了，自己画个数轴非常快就明白了。

2.5

Question

Which of the following hold for all real numbers x and y?

Select all that apply:

• $⌊xy⌋ ≥ ⌊x⌋·⌊y⌋$
• $|xy| ≥ |x|·|y|$
• $⌊x+y⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋$
• $|x+y| ≥ |x| + |y|$
• $⌈xy⌉ ≥ ⌈x⌉·⌈y⌉$
• $⌈x+y⌉ ≥ ⌈x⌉ + ⌈y⌉$

Answer

• $|xy| ≥ |x|·|y|$
• $⌊x+y⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋$

选项1：

• 在负数上不成立，错误。

选项2：

其实应该是等号。

• 正确。

选项3：

假设：

则有：

已知 $⌊x⌋ + ⌊y⌋$ 为整数，那么：

综上所述，$⌊x+y⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋$。

• 正确。

选项4：

当 $xy < 0$ 时，会出现 $|x+y| < |x| + |y|$。

• 错误。

选项5：

反例：

• 错误。

选项6：

反例：

• 错误。